算术漫谈：《周易》卦序与黄金分割（续三）
俗话说的好，戏法人人会变，各有巧妙不同。在前面的“续一”与“续二”，九数给大家变了个戏法。一会儿是遗传密码表，一会儿是元素周期表，变来变去，黄金分割出现了。
为什么会这样呢？
实际上，在九数的草稿中，“续一”与“续二”是很晚才完成的计算，此前都是纯粹的数字计算，与原子量无关。为了使这个漫谈免于枯燥，九数才考虑变个戏法给大家瞅一瞅。
由于很早就定下来九数以纯粹数字计算的方式写作，所以能够对这个漫谈感兴趣的人很少。要知道，天宇中，数字生命只占很小很小的比例。九数知道大陆同修中，好些人精通易道，有着高深证悟，真心希望他们拿起笔来写给正见网。
这篇短文中，九数给大家揭示一个有趣的谜题。今天我们所看到的通行本《周易》，有篇短文“杂卦”，其六十四卦排列蕴藏着黄金分割。据此，九数引入一个术语“黄金方阵”。今后的续篇中，我们会列举一些黄金方阵的古典实例。
这篇短文打字到一半的时候，九数接听了一个电话，好些年未见面的学长要来看我。然后，下午与学长见面了。这可真是一件喜事。
（一）黄金方阵
这是一个八行八列的方阵，我们在第i行第j列摆放的数为a[i,j]。其中i,j在{1,2,3,4,5,6,7,8}中取值。
a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[1,5],a[1,6],a[1,7],a[1,8]
a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4],a[2,5],a[2,6],a[2,7],a[2,8]
a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[3,5],a[3,6],a[3,7],a[3,8]
a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4],a[4,5],a[4,6],a[4,7],a[4,8]
a[5,1],a[5,2],a[5,3],a[5,4],a[5,5],a[5,6],a[5,7],a[5,8]
a[6,1],a[6,2],a[6,3],a[6,4],a[6,5],a[6,6],a[6,7],a[6,8]
a[7,1],a[7,2],a[7,3],a[7,4],a[7,5],a[7,6],a[7,7],a[7,8]
a[8,1],a[8,2],a[8,3],a[8,4],a[8,5],a[8,6],a[8,7],a[8,8]
为了书写方便，我们用A,B,C,D,E,F,G,H表示方阵各列的和，用a,b,c,d,e,f,g,h表示方阵各行的和，又用Ω表示黄金比率。注意，这里的行和与列和，不一定是顺次排列的。
这是一个八行八列的方阵，我们在第i行第j列摆放的数为a[i,j]。其中i,j在{1,2,3,4,5,6,7,8}中取值。
a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[1,5],a[1,6],a[1,7],a[1,8]
a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4],a[2,5],a[2,6],a[2,7],a[2,8]
a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[3,5],a[3,6],a[3,7],a[3,8]
a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4],a[4,5],a[4,6],a[4,7],a[4,8]
a[5,1],a[5,2],a[5,3],a[5,4],a[5,5],a[5,6],a[5,7],a[5,8]
a[6,1],a[6,2],a[6,3],a[6,4],a[6,5],a[6,6],a[6,7],a[6,8]
a[7,1],a[7,2],a[7,3],a[7,4],a[7,5],a[7,6],a[7,7],a[7,8]
a[8,1],a[8,2],a[8,3],a[8,4],a[8,5],a[8,6],a[8,7],a[8,8]
为了书写方便，我们用A,B,C,D,E,F,G,H表示方阵各列的和，用a,b,c,d,e,f,g,h表示方阵各行的和，又用Ω表示黄金比率。注意，这里的行和与列和，不一定是顺次排列的。
如果一个八行八列的方阵，恰好遵循以下方程组①—④，那么就称其为“黄金方阵”。
①A+B+C+D+E=总和×Ω，第一层次黄金分割
②F+G+H=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
③a+b+c+d+e=总和×Ω，第一层次黄金分割
④f+g+h=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
这样的方阵，只涉及第一层次黄金分割和第二层次黄金分割，我们也称为“标准黄金方阵”。
①A+B+C+D+E=总和×Ω，第一层次黄金分割
②F+G+H=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
③a+b+c+d+e=总和×Ω，第一层次黄金分割
④f+g+h=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
这样的方阵，只涉及第一层次黄金分割和第二层次黄金分割，我们也称为“标准黄金方阵”。
实践中，我们也发现某些方阵非常独特，在结构上有所不同，涉及较高层次的黄金分割，这样的方阵，我们称为“奇异黄金方阵”。
由于黄金比率Ω=0.6180339……是一个无理数，因而在a[i,j]为正整数的条件下，永远都不会得到黄金方阵。所以，我们在实用的状态下，限定Ω在区间0.617<Ω<0.619中浮动。对于某些极其罕见的黄金方阵，这个区间的宽度可以更小，比如限定为0.6179<Ω<0.6181。用整数的比值来逼近黄金比率，是一件很不容易的事情，所以实践中碰到高精度的结果，机会并不多。一般而言，Ω落入区间0.617<Ω<0.619，已经很不错了。
比方说，我们在“续一”中见到的八行八列方阵，只涉及第一、二层次黄金分割，所以是标准黄金方阵；我们在“续二”中见到的八行八列方阵，涉及第一、二、三层次黄金分割，所以是奇异黄金方阵。
由于黄金比率Ω=0.6180339……是一个无理数，因而在a[i,j]为正整数的条件下，永远都不会得到黄金方阵。所以，我们在实用的状态下，限定Ω在区间0.617<Ω<0.619中浮动。对于某些极其罕见的黄金方阵，这个区间的宽度可以更小，比如限定为0.6179<Ω<0.6181。用整数的比值来逼近黄金比率，是一件很不容易的事情，所以实践中碰到高精度的结果，机会并不多。一般而言，Ω落入区间0.617<Ω<0.619，已经很不错了。
比方说，我们在“续一”中见到的八行八列方阵，只涉及第一、二层次黄金分割，所以是标准黄金方阵；我们在“续二”中见到的八行八列方阵，涉及第一、二、三层次黄金分割，所以是奇异黄金方阵。
常见的黄金方阵，其分解与组合，有这样几种情形。
①总和=总和×Ω+总和×Ω×Ω，“续一”中涉及
②总和=总和×Ω×Ω×2+总和×Ω×Ω×Ω，“续二”中涉及
③总和=总和×Ω+总和×Ω×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω
依照前面的术语，①为标准黄金方阵，②③为奇异黄金方阵。
①总和=总和×Ω+总和×Ω×Ω，“续一”中涉及
②总和=总和×Ω×Ω×2+总和×Ω×Ω×Ω，“续二”中涉及
③总和=总和×Ω+总和×Ω×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω
依照前面的术语，①为标准黄金方阵，②③为奇异黄金方阵。
在某些时候，我们的计算对象不是八行八列的方阵，而是一个m行n列的矩阵。此时，上面的结构，仍然可以参照。
（二）《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序，书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。
我们记录通行本《周易》卦序，书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。
上经：乾卦第一，坤卦第二，屯卦第三，蒙卦第四，需卦第五，讼卦第六，师卦第七，比卦第八，小畜第九，履卦第十，泰卦第十一，否卦第十二，同人第十三，大有第十四，谦卦第十五，豫卦第十六，随卦第十七，蛊卦第十八，临卦第十九，观卦第二十，噬嗑第二十一，贲卦第二十二，剥卦第二十三，复卦第二十四，无妄第二十五，大畜第二十六，颐卦第二十七，大过第二十八，坎卦第二十九，离卦第三十。
下经：咸卦第三十一，恒卦第三十二，遯卦第三十三，大壮第三十四，晋卦第三十五，明夷第三十六，家人第三十七，睽卦第三十八，蹇卦第三十九，解卦第四十，损卦第四十一，益卦第四十二，夬卦第四十三，姤卦第四十四，萃卦第四十五，升卦第四十六，困卦第四十七，井卦第四十八，革卦第四十九，鼎卦第五十，震卦第五十一，艮卦第五十二，渐卦第五十三，归妹第五十四，丰卦第五十五，旅卦第五十六，巽卦第五十七，兑卦第五十八，涣卦第五十九，节卦第六十，中孚第六十一，小过第六十二，既济第六十三，未济第六十四。
（三）《周易》杂卦
（1）原文抄录
杂卦
乾刚坤柔，比乐师忧。临观之义，或与或求。屯见而不失其居，蒙杂而著。震起也，艮止也。损益盛衰之始也。大畜时也，无妄灾也。萃聚，而升不来也。谦轻，而豫怠也。噬嗑食也，贲无色也。兑见，而巽伏也。随无故也，蛊则饬也。剥烂也，复反也。晋昼也，明夷诛也。井通，而困相遇也。咸速也，恒久也。涣离也，节止也。解缓也，蹇难也。睽外也，家人内也。否泰反其类也。大壮则止，遯则退也。大有众也，同人亲也。革去故也，鼎取新也。小过过也，中孚信也。丰多故也，亲寡旅也。离上，而坎下也。小畜寡也，履不处也。需不進也，讼不亲也。大过颠也。姤遇也，柔遇刚也。渐女归，待男行也。颐养正也，既济定也。归妹女之终也。未济男之穷也。夬决也，刚决柔也，君子道长，小人道忧也。
（1）原文抄录
杂卦
乾刚坤柔，比乐师忧。临观之义，或与或求。屯见而不失其居，蒙杂而著。震起也，艮止也。损益盛衰之始也。大畜时也，无妄灾也。萃聚，而升不来也。谦轻，而豫怠也。噬嗑食也，贲无色也。兑见，而巽伏也。随无故也，蛊则饬也。剥烂也，复反也。晋昼也，明夷诛也。井通，而困相遇也。咸速也，恒久也。涣离也，节止也。解缓也，蹇难也。睽外也，家人内也。否泰反其类也。大壮则止，遯则退也。大有众也，同人亲也。革去故也，鼎取新也。小过过也，中孚信也。丰多故也，亲寡旅也。离上，而坎下也。小畜寡也，履不处也。需不進也，讼不亲也。大过颠也。姤遇也，柔遇刚也。渐女归，待男行也。颐养正也，既济定也。归妹女之终也。未济男之穷也。夬决也，刚决柔也，君子道长，小人道忧也。
（2）古儒心得
东晋韩康伯云：杂卦者，杂糅众卦，错综其义，或以同相类，或以异相明也。
唐代孔颖达，著作《周易正义》，引虞氏云：杂卦者，杂六十四卦以为义，其于序卦之外别言也。
东晋韩康伯云：杂卦者，杂糅众卦，错综其义，或以同相类，或以异相明也。
唐代孔颖达，著作《周易正义》，引虞氏云：杂卦者，杂六十四卦以为义，其于序卦之外别言也。
（3）得象忘言
我们考虑一个问题。假设某人刻苦攻读“杂卦”，早已熟读成诵，倒背如流。然后，将竹简搁置一旁，久久不曾拿起。经年累月，非常不幸的事情发生了，其竹简被虫子蛀了，只留下一个又一个的□。残篇断简，只有六十四卦可见。那么，我们将看到如下景观。
我们考虑一个问题。假设某人刻苦攻读“杂卦”，早已熟读成诵，倒背如流。然后，将竹简搁置一旁，久久不曾拿起。经年累月，非常不幸的事情发生了，其竹简被虫子蛀了，只留下一个又一个的□。残篇断简，只有六十四卦可见。那么，我们将看到如下景观。
□□
乾□坤□，比□师□。临观□□，□□□□。屯□□□□□□，蒙□□□。震□□，艮□□。损益□□□□□。大畜□□，无妄□□。萃□，□升□□□。谦□，□豫□□。噬嗑□□，贲□□□。兑□，□巽□□。随□□□，蛊□□□。剥□□，复□□。晋□□，明夷□□。井□，□困□□□。咸□□，恒□□。涣□□，节□□。解□□，蹇□□。睽□□，家人□□。否泰□□□□。大壮□□，遯□□□。大有□□，同人□□。革□□□，鼎□□□。小过□□，中孚□□。丰□□□，□□旅□。离□，□坎□□。小畜□□，履□□□。需□□□，讼□□□。大过□□。姤□□，□□□□。渐□□，□□□□。颐□□□，既济□□。归妹□□□□。未济□□□□。夬□□，□□□□，□□□□，□□□□□。
乾□坤□，比□师□。临观□□，□□□□。屯□□□□□□，蒙□□□。震□□，艮□□。损益□□□□□。大畜□□，无妄□□。萃□，□升□□□。谦□，□豫□□。噬嗑□□，贲□□□。兑□，□巽□□。随□□□，蛊□□□。剥□□，复□□。晋□□，明夷□□。井□，□困□□□。咸□□，恒□□。涣□□，节□□。解□□，蹇□□。睽□□，家人□□。否泰□□□□。大壮□□，遯□□□。大有□□，同人□□。革□□□，鼎□□□。小过□□，中孚□□。丰□□□，□□旅□。离□，□坎□□。小畜□□，履□□□。需□□□，讼□□□。大过□□。姤□□，□□□□。渐□□，□□□□。颐□□□，既济□□。归妹□□□□。未济□□□□。夬□□，□□□□，□□□□，□□□□□。
今天，我们身处电脑打字的时代。文字→卦象→数码。九数深切的体验到，德国人莱布尼兹用0-1数记录《周易》卦象，是多么的可贵。
（四）杂卦方阵
通行本《周易》中，“系辞”云：君子所居而安者，易之序也。
我们将“杂卦”所记录的六十四卦，按其顺序，排列为八行八列的方阵。
通行本《周易》中，“系辞”云：君子所居而安者，易之序也。
我们将“杂卦”所记录的六十四卦，按其顺序，排列为八行八列的方阵。
乾卦，坤卦，比卦，师卦，临卦，观卦，屯卦，蒙卦。
震卦，艮卦，损卦，益卦，大畜，无妄，萃卦，升卦。
谦卦，豫卦，噬嗑，贲卦，兑卦，巽卦，随卦，蛊卦。
剥卦，复卦，晋卦，明夷，井卦，困卦，咸卦，恒卦。
涣卦，节卦，解卦，蹇卦，睽卦，家人，否卦，泰卦。
大壮，遯卦，大有，同人，革卦，鼎卦，小过，中孚。
丰卦，旅卦，离卦，坎卦，小畜，履卦，需卦，讼卦。
大过，姤卦，渐卦，颐卦，既济，归妹，未济，夬卦。
震卦，艮卦，损卦，益卦，大畜，无妄，萃卦，升卦。
谦卦，豫卦，噬嗑，贲卦，兑卦，巽卦，随卦，蛊卦。
剥卦，复卦，晋卦，明夷，井卦，困卦，咸卦，恒卦。
涣卦，节卦，解卦，蹇卦，睽卦，家人，否卦，泰卦。
大壮，遯卦，大有，同人，革卦，鼎卦，小过，中孚。
丰卦，旅卦，离卦，坎卦，小畜，履卦，需卦，讼卦。
大过，姤卦，渐卦，颐卦，既济，归妹，未济，夬卦。
（五）序数方阵
我们取出《周易》中六十四卦的序数，代入上述杂卦方阵，得出序数方阵。为了查阅方便，我们将数字序号{01,02,03，……，63,64}写在卦名旁边。
我们取出《周易》中六十四卦的序数，代入上述杂卦方阵，得出序数方阵。为了查阅方便，我们将数字序号{01,02,03，……，63,64}写在卦名旁边。
乾卦01，坤卦02，比卦08，师卦07，临卦19，观卦20，屯卦03，蒙卦04。
震卦51，艮卦52，损卦41，益卦42，大畜26，无妄25，萃卦45，升卦46。
谦卦15，豫卦16，噬嗑21，贲卦22，兑卦58，巽卦57，随卦17，蛊卦18。
剥卦23，复卦24，晋卦35，明夷36，井卦48，困卦47，咸卦31，恒卦32。
涣卦59，节卦60，解卦40，蹇卦39，睽卦38，家人37，否卦12，泰卦11。
大壮34，遯卦33，大有14，同人13，革卦49，鼎卦50，小过62，中孚61。
丰卦55，旅卦56，离卦30，坎卦29，小畜09，履卦10，需卦05，讼卦06。
大过28，姤卦44，渐卦53，颐卦27，既济63，归妹54，未济64，夬卦43。
震卦51，艮卦52，损卦41，益卦42，大畜26，无妄25，萃卦45，升卦46。
谦卦15，豫卦16，噬嗑21，贲卦22，兑卦58，巽卦57，随卦17，蛊卦18。
剥卦23，复卦24，晋卦35，明夷36，井卦48，困卦47，咸卦31，恒卦32。
涣卦59，节卦60，解卦40，蹇卦39，睽卦38，家人37，否卦12，泰卦11。
大壮34，遯卦33，大有14，同人13，革卦49，鼎卦50，小过62，中孚61。
丰卦55，旅卦56，离卦30，坎卦29，小畜09，履卦10，需卦05，讼卦06。
大过28，姤卦44，渐卦53，颐卦27，既济63，归妹54，未济64，夬卦43。
（六）行列求和
（1）横向计算
第一行，和为01+02+08+07+19+20+03+04=64。
第二行，和为51+52+41+42+26+25+45+46=328。
第三行，和为15+16+21+22+58+57+17+18=224。
第四行，和为23+24+35+36+48+47+31+32=276。
第五行，和为59+60+40+39+38+37+12+11=296。
第六行，和为34+33+14+13+49+50+62+61=316。
第七行，和为55+56+30+29+09+10+05+06=200。
第八行，和为28+44+53+27+63+54+64+43=376。
总和为64+328+224+276+296+316+200+376=2080。
（1）横向计算
第一行，和为01+02+08+07+19+20+03+04=64。
第二行，和为51+52+41+42+26+25+45+46=328。
第三行，和为15+16+21+22+58+57+17+18=224。
第四行，和为23+24+35+36+48+47+31+32=276。
第五行，和为59+60+40+39+38+37+12+11=296。
第六行，和为34+33+14+13+49+50+62+61=316。
第七行，和为55+56+30+29+09+10+05+06=200。
第八行，和为28+44+53+27+63+54+64+43=376。
总和为64+328+224+276+296+316+200+376=2080。
（2）纵向计算
第一列，和为01+51+15+23+59+34+55+28=266。
第二列，和为02+52+16+24+60+33+56+44=287。
第三列，和为08+41+21+35+40+14+30+53=242。
第四列，和为07+42+22+36+39+13+29+27=215。
第五列，和为19+26+58+48+38+49+09+63=310。
第六列，和为20+25+57+47+37+50+10+54=300。
第七列，和为03+45+17+31+12+62+05+64=239。
第八列，和为04+46+18+32+11+61+06+43=221。
总和为266+287+242+215+310+300+239+221=2080。
第一列，和为01+51+15+23+59+34+55+28=266。
第二列，和为02+52+16+24+60+33+56+44=287。
第三列，和为08+41+21+35+40+14+30+53=242。
第四列，和为07+42+22+36+39+13+29+27=215。
第五列，和为19+26+58+48+38+49+09+63=310。
第六列，和为20+25+57+47+37+50+10+54=300。
第七列，和为03+45+17+31+12+62+05+64=239。
第八列，和为04+46+18+32+11+61+06+43=221。
总和为266+287+242+215+310+300+239+221=2080。
（七）黄金分割
我们用Ω表示黄金比率，先建立部分与总体之间的关系式，然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此，误差一般在千分之一以内。
我们用Ω表示黄金比率，先建立部分与总体之间的关系式，然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此，误差一般在千分之一以内。
①第一行+第二行+第六行+第七行+第八行=总和×Ω，第一层次黄金分割
验算：第一行+第二行+第六行+第七行+第八行=64+328+316+200+376=1284，总和=2080，
解出Ω=1284÷2080=0.6173……
验算：第一行+第二行+第六行+第七行+第八行=64+328+316+200+376=1284，总和=2080，
解出Ω=1284÷2080=0.6173……
②第三行+第四行+第五行=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
验算：第三行+第四行+第五行=224+276+296=796，总和=2080，
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然后开平方，解出Ω=0.6186……
验算：第三行+第四行+第五行=224+276+296=796，总和=2080，
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然后开平方，解出Ω=0.6186……
③第四列+第五列+第六列+第七列+第八列=总和×Ω，第一层次黄金分割
验算：第四列+第五列+第六列+第七列+第八列=215+310+300+239+221=1285，总和=2080，
解出Ω=1285÷2080=0.6177……
验算：第四列+第五列+第六列+第七列+第八列=215+310+300+239+221=1285，总和=2080，
解出Ω=1285÷2080=0.6177……
④第一列+第二列+第三列=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
验算：第一列+第二列+第三=266+287+242=795，总和=2080，
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然后开平方，解出Ω=0.6182……
验算：第一列+第二列+第三=266+287+242=795，总和=2080，
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然后开平方，解出Ω=0.6182……
在“续一”与“续二”中，九数给大家变了个戏法：生物学的“遗传密码表”，变化出“标准黄金方阵”；化学的“元素周期表”，变化出“奇异黄金方阵”。至此，我们认识到，这戏法的根源全在《周易》“杂卦”中。
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