2015年12月5日星期六

算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割

算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割(续三)

俗话说的好,戏法人人会变,各有巧妙不同。在前面的“续一”与“续二”,九数给大家变了个戏法。一会儿是遗传密码表,一会儿是元素周期表,变来变去,黄金分割出现了。
为什么会这样呢?
实际上,在九数的草稿中,“续一”与“续二”是很晚才完成的计算,此前都是纯粹的数字计算,与原子量无关。为了使这个漫谈免于枯燥,九数才考虑变个戏法给大家瞅一瞅。
由于很早就定下来九数以纯粹数字计算的方式写作,所以能够对这个漫谈感兴趣的人很少。要知道,天宇中,数字生命只占很小很小的比例。九数知道大陆同修中,好些人精通易道,有着高深证悟,真心希望他们拿起笔来写给正见网。
这篇短文中,九数给大家揭示一个有趣的谜题。今天我们所看到的通行本《周易》,有篇短文“杂卦”,其六十四卦排列蕴藏着黄金分割。据此,九数引入一个术语“黄金方阵”。今后的续篇中,我们会列举一些黄金方阵的古典实例。
这篇短文打字到一半的时候,九数接听了一个电话,好些年未见面的学长要来看我。然后,下午与学长见面了。这可真是一件喜事。
(一)黄金方阵
这是一个八行八列的方阵,我们在第i行第j列摆放的数为a[i,j]。其中i,j在{1,2,3,4,5,6,7,8}中取值。
a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[1,5],a[1,6],a[1,7],a[1,8]
a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4],a[2,5],a[2,6],a[2,7],a[2,8]
a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[3,5],a[3,6],a[3,7],a[3,8]
a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4],a[4,5],a[4,6],a[4,7],a[4,8]
a[5,1],a[5,2],a[5,3],a[5,4],a[5,5],a[5,6],a[5,7],a[5,8]
a[6,1],a[6,2],a[6,3],a[6,4],a[6,5],a[6,6],a[6,7],a[6,8]
a[7,1],a[7,2],a[7,3],a[7,4],a[7,5],a[7,6],a[7,7],a[7,8]
a[8,1],a[8,2],a[8,3],a[8,4],a[8,5],a[8,6],a[8,7],a[8,8]
为了书写方便,我们用A,B,C,D,E,F,G,H表示方阵各列的和,用a,b,c,d,e,f,g,h表示方阵各行的和,又用Ω表示黄金比率。注意,这里的行和与列和,不一定是顺次排列的。
如果一个八行八列的方阵,恰好遵循以下方程组①—④,那么就称其为“黄金方阵”。
①A+B+C+D+E=总和×Ω,第一层次黄金分割
②F+G+H=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
③a+b+c+d+e=总和×Ω,第一层次黄金分割
④f+g+h=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
这样的方阵,只涉及第一层次黄金分割和第二层次黄金分割,我们也称为“标准黄金方阵”。
实践中,我们也发现某些方阵非常独特,在结构上有所不同,涉及较高层次的黄金分割,这样的方阵,我们称为“奇异黄金方阵”。
由于黄金比率Ω=0.6180339……是一个无理数,因而在a[i,j]为正整数的条件下,永远都不会得到黄金方阵。所以,我们在实用的状态下,限定Ω在区间0.617<Ω<0.619中浮动。对于某些极其罕见的黄金方阵,这个区间的宽度可以更小,比如限定为0.6179<Ω<0.6181。用整数的比值来逼近黄金比率,是一件很不容易的事情,所以实践中碰到高精度的结果,机会并不多。一般而言,Ω落入区间0.617<Ω<0.619,已经很不错了。
比方说,我们在“续一”中见到的八行八列方阵,只涉及第一、二层次黄金分割,所以是标准黄金方阵;我们在“续二”中见到的八行八列方阵,涉及第一、二、三层次黄金分割,所以是奇异黄金方阵。
常见的黄金方阵,其分解与组合,有这样几种情形。
①总和=总和×Ω+总和×Ω×Ω,“续一”中涉及
②总和=总和×Ω×Ω×2+总和×Ω×Ω×Ω,“续二”中涉及
③总和=总和×Ω+总和×Ω×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω
依照前面的术语,①为标准黄金方阵,②③为奇异黄金方阵。
在某些时候,我们的计算对象不是八行八列的方阵,而是一个m行n列的矩阵。此时,上面的结构,仍然可以参照。
(二)《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序,书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。
上经:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,讼卦第六,师卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,谦卦第十五,豫卦第十六,随卦第十七,蛊卦第十八,临卦第十九,观卦第二十,噬嗑第二十一,贲卦第二十二,剥卦第二十三,复卦第二十四,无妄第二十五,大畜第二十六,颐卦第二十七,大过第二十八,坎卦第二十九,离卦第三十。
下经:咸卦第三十一,恒卦第三十二,遯卦第三十三,大壮第三十四,晋卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,损卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,渐卦第五十三,归妹第五十四,丰卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兑卦第五十八,涣卦第五十九,节卦第六十,中孚第六十一,小过第六十二,既济第六十三,未济第六十四。
(三)《周易》杂卦
(1)原文抄录
杂卦
乾刚坤柔,比乐师忧。临观之义,或与或求。屯见而不失其居,蒙杂而著。震起也,艮止也。损益盛衰之始也。大畜时也,无妄灾也。萃聚,而升不来也。谦轻,而豫怠也。噬嗑食也,贲无色也。兑见,而巽伏也。随无故也,蛊则饬也。剥烂也,复反也。晋昼也,明夷诛也。井通,而困相遇也。咸速也,恒久也。涣离也,节止也。解缓也,蹇难也。睽外也,家人内也。否泰反其类也。大壮则止,遯则退也。大有众也,同人亲也。革去故也,鼎取新也。小过过也,中孚信也。丰多故也,亲寡旅也。离上,而坎下也。小畜寡也,履不处也。需不進也,讼不亲也。大过颠也。姤遇也,柔遇刚也。渐女归,待男行也。颐养正也,既济定也。归妹女之终也。未济男之穷也。夬决也,刚决柔也,君子道长,小人道忧也。
(2)古儒心得
东晋韩康伯云:杂卦者,杂糅众卦,错综其义,或以同相类,或以异相明也。
唐代孔颖达,著作《周易正义》,引虞氏云:杂卦者,杂六十四卦以为义,其于序卦之外别言也。
(3)得象忘言
我们考虑一个问题。假设某人刻苦攻读“杂卦”,早已熟读成诵,倒背如流。然后,将竹简搁置一旁,久久不曾拿起。经年累月,非常不幸的事情发生了,其竹简被虫子蛀了,只留下一个又一个的□。残篇断简,只有六十四卦可见。那么,我们将看到如下景观。
□□
乾□坤□,比□师□。临观□□,□□□□。屯□□□□□□,蒙□□□。震□□,艮□□。损益□□□□□。大畜□□,无妄□□。萃□,□升□□□。谦□,□豫□□。噬嗑□□,贲□□□。兑□,□巽□□。随□□□,蛊□□□。剥□□,复□□。晋□□,明夷□□。井□,□困□□□。咸□□,恒□□。涣□□,节□□。解□□,蹇□□。睽□□,家人□□。否泰□□□□。大壮□□,遯□□□。大有□□,同人□□。革□□□,鼎□□□。小过□□,中孚□□。丰□□□,□□旅□。离□,□坎□□。小畜□□,履□□□。需□□□,讼□□□。大过□□。姤□□,□□□□。渐□□,□□□□。颐□□□,既济□□。归妹□□□□。未济□□□□。夬□□,□□□□,□□□□,□□□□□。
今天,我们身处电脑打字的时代。文字→卦象→数码。九数深切的体验到,德国人莱布尼兹用0-1数记录《周易》卦象,是多么的可贵。
(四)杂卦方阵
通行本《周易》中,“系辞”云:君子所居而安者,易之序也。
我们将“杂卦”所记录的六十四卦,按其顺序,排列为八行八列的方阵。
乾卦,坤卦,比卦,师卦,临卦,观卦,屯卦,蒙卦。
震卦,艮卦,损卦,益卦,大畜,无妄,萃卦,升卦。
谦卦,豫卦,噬嗑,贲卦,兑卦,巽卦,随卦,蛊卦。
剥卦,复卦,晋卦,明夷,井卦,困卦,咸卦,恒卦。
涣卦,节卦,解卦,蹇卦,睽卦,家人,否卦,泰卦。
大壮,遯卦,大有,同人,革卦,鼎卦,小过,中孚。
丰卦,旅卦,离卦,坎卦,小畜,履卦,需卦,讼卦。
大过,姤卦,渐卦,颐卦,既济,归妹,未济,夬卦。
(五)序数方阵
我们取出《周易》中六十四卦的序数,代入上述杂卦方阵,得出序数方阵。为了查阅方便,我们将数字序号{01,02,03,……,63,64}写在卦名旁边。
乾卦01,坤卦02,比卦08,师卦07,临卦19,观卦20,屯卦03,蒙卦04。
震卦51,艮卦52,损卦41,益卦42,大畜26,无妄25,萃卦45,升卦46。
谦卦15,豫卦16,噬嗑21,贲卦22,兑卦58,巽卦57,随卦17,蛊卦18。
剥卦23,复卦24,晋卦35,明夷36,井卦48,困卦47,咸卦31,恒卦32。
涣卦59,节卦60,解卦40,蹇卦39,睽卦38,家人37,否卦12,泰卦11。
大壮34,遯卦33,大有14,同人13,革卦49,鼎卦50,小过62,中孚61。
丰卦55,旅卦56,离卦30,坎卦29,小畜09,履卦10,需卦05,讼卦06。
大过28,姤卦44,渐卦53,颐卦27,既济63,归妹54,未济64,夬卦43。
(六)行列求和
(1)横向计算
第一行,和为01+02+08+07+19+20+03+04=64。
第二行,和为51+52+41+42+26+25+45+46=328。
第三行,和为15+16+21+22+58+57+17+18=224。
第四行,和为23+24+35+36+48+47+31+32=276。
第五行,和为59+60+40+39+38+37+12+11=296。
第六行,和为34+33+14+13+49+50+62+61=316。
第七行,和为55+56+30+29+09+10+05+06=200。
第八行,和为28+44+53+27+63+54+64+43=376。
总和为64+328+224+276+296+316+200+376=2080。
(2)纵向计算
第一列,和为01+51+15+23+59+34+55+28=266。
第二列,和为02+52+16+24+60+33+56+44=287。
第三列,和为08+41+21+35+40+14+30+53=242。
第四列,和为07+42+22+36+39+13+29+27=215。
第五列,和为19+26+58+48+38+49+09+63=310。
第六列,和为20+25+57+47+37+50+10+54=300。
第七列,和为03+45+17+31+12+62+05+64=239。
第八列,和为04+46+18+32+11+61+06+43=221。
总和为266+287+242+215+310+300+239+221=2080。
(七)黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。
①第一行+第二行+第六行+第七行+第八行=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第六行+第七行+第八行=64+328+316+200+376=1284,总和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……
②第三行+第四行+第五行=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第三行+第四行+第五行=224+276+296=796,总和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然后开平方,解出Ω=0.6186……
③第四列+第五列+第六列+第七列+第八列=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第四列+第五列+第六列+第七列+第八列=215+310+300+239+221=1285,总和=2080,
解出Ω=1285÷2080=0.6177……
④第一列+第二列+第三列=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第一列+第二列+第三=266+287+242=795,总和=2080,
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然后开平方,解出Ω=0.6182……
在“续一”与“续二”中,九数给大家变了个戏法:生物学的“遗传密码表”,变化出“标准黄金方阵”;化学的“元素周期表”,变化出“奇异黄金方阵”。至此,我们认识到,这戏法的根源全在《周易》“杂卦”中。 

没有评论:

发表评论