黃金比例的運用(二)

　

黃金分割 golden section

       文藝復興後期的克卜勒（Kepler，1571-1630）曾經說，幾何學擁有兩件至寶，一件是大家熟知的畢氏定理，另一件便是黃金比例。歐幾里德在西元前三百年定義了「中末比」：把一條有限直線分割成兩段，當長線段與短線段之比等於全線長與長線段之比時，該比例記作 φ，也就是黃金比例，其數值約是 1.6180339887....，代數值是 x²-x-1=0 的正解。

線段的黃金分割製圖法

       黃金比例不只出現在大自然裡，自從在文藝復興時期，黃金比例被譽為是「神的比例」之後，它還在若干藝術家、建築師、設計師的作品中嶄露頭角。例如，達文西在繪畫與數學的探索裡應用了黃金比例，又例如，達利在一九五五年的畫作《最後的晚餐》突顯的立體景深 。    

       據數學史記載, “黃金分割”是由公元前6世紀古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯及其學派發現的。歐幾里得「幾何原本」第二卷是述說畢氏及其弟子的著述, 其中第十一節寫道:“以點E 按中末比截直線AB, 使成黃金分割, 即AB : AE = AE : EB”。「幾何原本」中還給出了求得黃金比的五種方法。

       若設AB = 1, AE = x, 則上面等式變為1 ·x = x· (1−x), 即x2 = 1 · (1−x),整理得一元二次方程x2 + x − 1 = 0, 解之得 0.618。

       若設AE = 1, EB 解之得 0.618。

       若設EB = 1, AB 解之得 1.618。

        0.618 叫做“黃金數”。而“黃金比”這個名稱為古希臘著名哲學家柏拉圖所命名。在歐洲又把“黃金比”稱為黃金分割律”, 並且這一名稱是由19世紀德國美學家蔡辛提出來的。他深入研究了這一比例，認為黃金分割無論在藝術，還是在自然中都是形式美的最佳比例關係。 

       畢達哥拉斯學派關於“美是和諧的比例”的美學觀點, 自古到今始終被美學家作為形式美的一條法則。黃金分割，卻是何等誘人！其中有著深奧的機理。中世紀德國數學家、天文學家開普勒指出：“幾何學中有兩件瑰寶, 一是畢達哥拉斯定理 ，一是黃金分割律”, 他宣稱黃金分割是造物主賜予自然界傳宗接代的美妙之意。文藝復興時期，黃金分割被視為最神聖的比例。例如達文西在「論繪畫」一書中指出：“美感完全建立在各部分之間神聖比例的關係上 ，各特徵必須同時作用，才能產生使觀眾往往如醉如痴的和諧比例。黃金分割在數學、美學、人體、藝術、自然中顯示出巨大的作用，推動了人們在它指導下去認識世界和改造世界。難怪16世紀威尼斯數學家帕喬里稱之為“神賜的比例”。

       黃金分割自產生起就成為一條公認的著名美學定律 ，被廣泛應用於音樂、繪畫、雕塑等藝術形式和建築之中。例如，古希臘雅典的巴特農神殿，就是按黃金分割比例來建造神殿的(大理石柱廊高恰好占整個神殿高度的0.618)。古埃及修建的胡夫大金字塔 ，其高與底部正方形邊長之比為0.62。埃菲爾建造巴黎大鐵塔在比例上應用的也是黃金分割法。現在, 人們常在高塔的黃金分割點處建造樓閣或設置平臺，能使平直、單調的塔身變得多彩多姿 ，而在摩天大樓的黃金分割點處設置腰線或裝飾物，則可使整個樓顯得宏偉而雅緻。拿藝術作品來說，古希臘時代著名的雕塑: 米洛斯的納維斯女神塑像、智慧女神雅典娜和太陽神阿波羅塑像，是故意延長雙腿，使肚臍到腳底的高度與全身高度之比為0.618。

       因為藝術家早就發現人的形體以下肢與身高之比為0.618 為最美 ，但生活中這樣的形體比例很少，所以詩人荷馬早就指出：“單憑擴大腿和腳的尺度, 就可以產生一種崇高的儀容。達文西、提香、波提且利的作品中的許多比例關係也為0.618。

       黃金分割之所以具有審美價值, 是在於黃金分割是一種自然界的客觀規律。